СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ операторов, обобщение теории собств. значений матриц. Спектр линейного оператора A – совокупность чисел l, для к-рых оператор A–lλE (E – единичный оператор) не имеет всюду определённого ограниченного обратного и не исчерпывается собств. значениями (т.е. числами l, при к-рых существует ненулевой x, такой, что Ax=lλx). Напр., оператор умножения на t в пространстве функций, интегрируемых в квадрате на отрезке [0,1], не имеет собств. значений, его спектр есть отрезок. С.т. применяют при описании малых колебаний мех. систем, в квантовой механике и др.

В период эвакуации АН Укр. ССР в Уфу С.т. была применена при иссл. крутильных колебаний коленчатых валов и проблем стабилизации (Н.Н.Боголюбов, Н.М.Крылов), устойчивости обратных задач (А.Н.Тихонов). В респ. иссл. по С.т. ведутся с 50-х гг. 20 в. в БГУ (совм. с МГУ), Ин-те математики, Ин-те механики, СГПА, УГАТУ, УГНТУ. Исследованы спектры и разложения по собственным функциям дифференц. операторов (Т.Г.Амангильдин, А.М.Ахтямов, З.И.Биглов, Д.И.Борисов, Н.Ф.Валеев, Р.Р.Гадыльшин, М.Г.Гимадисламов, М.А.Ильгамов, Я.Ш.Ильясов, Х.К.Ишкин, Ю.А.Кордюков, Х.Х.Муртазин, Э.А.Назирова, К.Б.Сабитов, Р.С.Сакс, И.А.Соломещ, Я.Т.Султанаев, С.Ф.Урманчеев, З.Ю.Фазуллин, М.Г.Юмагулов и др.), обратные задачи С.т. (Ахтямов, Ильгамов, Султанаев, Урманчеев). В СГПА проводятся науч. конференции “Спектральная теория операторов и смежные вопросы” (В.А.Ильин, Сабитов и др.).

Лит.: Ильгамов М.А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ. М., 1969; Муртазин Х.Х., Садовничий В.А. Спектральный анализ многочастичного оператора Шрёдингера. М., 1988; Садовничий В.А., Султанаев Я.Т., Ахтямов А.М. Обратные задачи Штурма—Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. М., 2009.

А.М.Ахтямов


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР