КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ, задачи определения функции внутри области (среди функций заданного класса) по информации о предельных значениях её самой и (или) её производных на всей или части границы и по интегро-дифференц. соотношениям в области. Говорят о К.з. для дифференц. ур‑ния, если искомая функция удовлетворяет в области заданному дифференц. ур‑нию; о задаче продолжения функции с границы внутрь области в опред. пространстве, если ищется функция из заданного функц. пространства. В задаче сопряжения функция определяется внутри и извне области по заданному соотношению между предельными значениями на границе и удовлетворяет данному ур‑нию в каждой из этих областей. В К.з. для ур‑ний смешанного типа (напр., эллиптико-гиперболич.) функция определяется в объединении двух областей, имеющих общий участок границы, в одной из них функция удовлетворяет заданному эллиптич. ур‑нию, а в др. — гиперболическому. В К.з. для систем дифференц. ур‑ний вместо функции в области определяется вектор-функция. По постановке краевых и начальных значений искомой функции (и методам их исследования) различают К.з. для линейных и нелинейных дифференц. ур‑ний эллиптич., гиперболич., параболич. типов и др. Среди правильно поставленных К.з. выделяют корректные К.з., решение к‑рых существует, единственно и непрерывно зависит от данных задачи в опред. метрике. Теория К.з. развивается в тесном взаимодействии с прикладными задачами: ур‑ния гиперболич. типа описывают волновые процессы, параболич. — процессы диффузии и распространение тепла, эллиптич. — установившиеся процессы, эллиптико-гиперболич. ур‑ния связаны с динамикой движения газа; Максвелла ур‑ния описывают эл.-магнитные волны, Навье–Стокса — динамику движения жидкости. Собств. функции операторов вихря и Стокса используются в астрофизике, гидродинамике и в физике плазмы.

В Башкортостане в годы Великой Отечественной войны работали акад. Н.Н.Боголюбов, М.А.Лаврентьев и А.Н.Тихонов — создатели монографий и учебников по матем. физике. Боголюбов разработал новые методы иссл. динамич. систем, лежащих в основе теории устойчивости движения, гироскопич. систем, теории управления ракет; совм. с акад. Н.М.Крыловым исследовал проблему крутильных колебаний коленчатых валов авиамоторов и их вибростабилизацию. Лаврентьев, исследуя задачи гидродинамики и газовой динамики, закладывает основы теории К.з. для ур‑ний смешанного типа, создает теорию кумулятивных зарядов снарядов, пробивающих броню. Тихонов решает задачи поглощения газа из тока воздуха слоем зернистого материала, эл.‑разведки полезных ископаемых, проблемы транспортировки нефти, распространения эл.‑магнитных волн в цилиндрич. трубах (радиоволноводах).

Регулярные иссл. К.з. продолжены их учениками и последователями в 60‑х гг. 20 в. в БГУ одновр. с развитием приближённых и численных методов решения разл. прикладных задач (З.И.Биглов, И.Г.Дядькин, В.Т.Иванов, У.В.Игнатьев, Л.И.Рубинштейн, А.Ф.Клементьев, Г.П.Смирнов, В.Н.Стариков). С нач. 70‑х гг. в Ин-те математике развиваются асимптотич. методы иссл. решений К.з. (А.М.Ильин, Л.А.Калякин, В.Ю.Новокшенов, М.Д.Рамазанов, Б.И.Сулейманов, Ю.З.Шайгарданов и др.), исследуются вопросы разрешимости нелинейных ур‑ний матем. физики и К.з. (А.Б.Шабат, Новокшенов, И.Т.Хабибуллин и др.).

С 80‑х гг. в Уфе изучаются корректные постановки К.з. для обобщённо эллиптич. систем, в т.ч. для систем ур‑ний Максвелла, Стокса, Соболева в случае установившихся процессов (Р.С.Сакс), исследуются сингулярно возмущённые К.з. (Р.Р.Гадыльшин), качеств. теория параболич. К.з. (Ф.Х.Мукминов) и разл. вопросы спектральной теории для обыкновенных дифференц. ур‑ний и ур‑ний в частных производных (М.Г.Гимадисламов, Я.Ш.Ильясов, Х.Х.Муртазин, И.А.Соломещ, Я.Т.Султанаев, З.Ю.Фазуллин, Ю.А.Кордюков), разрабатываются функционально-аналитич. и числ. методы решения К.з. (Рамазанов), решается задача построения собств. функций операторов вихря и Стокса в таких областях как шар, куб и др., исследуются К.з. для системы ур‑ний Навье–Стокса (Сакс). В СГПА исследованы К.з. для ур‑ния Лаврентьева–Бицадзе и др. ур‑ний смешанного типа, решаются разл. прикладные задачи (К.Б.Сабитов, И.А.Калиев, В.Н.Кризский и др.). Методы теории К.з. находят применение и развитие в задачах механики (М.А.Ильгамов, С.Ф.Урманчеев; Ин-т механики), оптим. управления (И.И.Голичев, Ин‑т математики; Ф.В.Лубышев, Н.Д.Морозкин, С.А.Щербинин, БГУ), при расчётах трубопроводов (С.Ю.Рудерман), при иссл. разл. обратных задач (С.И.Спивак, А.М.Ахтямов, БГУ; Р.М.Асадуллин, БГПУ).

Лит.: Сакс Р.С. Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений. Новосибирск, 1975; Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. 5-е изд., испр. М., 1987; Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М., 1989.

Р.С.Сакс


Математические задачи